Question

已知数列{a_n}是首项为a1=

1

2

，公比q=

1

2

的等比数列．设bn+2=3log

1

2

an(n∈N*)，数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n
（I）求证：数列{b_n}是等差数列；
（II）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用等比数列的通项公式可求得a_n，利用对数性质可求得log

1

2

a_n=n，从而可求得b_n=3n-2，利用b_n+1-b_n为定值即可；
（II）由于c_n=（3n-2）•(

1

2

)n，S_n=c₁+c₂+…+c_n，利用错位相减法即可求得S_n．

解答：解：（I）证明：∵a₁=

1

2

，公比q=

1

2

，
∴a_n=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
∴log

1

2

a_n=n，
又b_n+2=3log

1

2

a_n=3n，
∴b_n=3n-2，b₁=1，
∴b_n+1=3（n+1）-2，
∴b_n+1-b_n=3，
∴{b_n}是1为首项，3为公差的等差数列；
（II）由（Ⅰ）知b_n=3n-2，a_n=(

1

2

)n，
∴c_n=a_n•b_n=（3n-2）•(

1

2

)n，
∴S_n=1×(

1

2

)1+4×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+（3n-2）×(

1

2

)n ①

1

2

S_n=1×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+7×(

1

2

)4+…+（3n-5）×(

1

2

)n+（3n-2）×(

1

2

)n+1②
故①-②得：

1

2

S_n=1×

1

2

+3×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+3×(

1

2

)n-（3n-2）×(

1

2

)n+1
∴

1

2

S_n=

1

2

+3×

( 1 2 )2[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（3n-2）×(

1

2

)n+1=2-

4+3n

2n+1

，
∴S_n=4-

4+3n

2n

．

点评：本题考查等差数关系的确定，考查等差数列与等比数列的通项公式，考查数列求和，着重考查错位相减法，考查推理与运算能力，属于难题．