Question

已知函数f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x2，
（1）求函数f（x）的极大值；
（2）令g（x）=f（x）+

3

2

x2+(m-1)x，试判断函数g（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的定义域为(-

2

3

，+∞)，利用导数与函数单调性极值的关系即可；
（2）g（x）=f（x）+

3

2

x2+(m-1)x=ln（2+3x）+（m-1）x．定义域为(-

2

3

，+∞)．通过对m分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为(-

2

3

，+∞)．
f′(x)=

3

2+3x

-3x=

-3(3x-1)(x+1)

2+3x

，
令f′（x）=0，解得x=

1

3

．
当x＞

1

3

时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当-

2

3

＜x＜

1

3

时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴函数f（x）在x=

1

3

取得极大值，f(

1

3

)=ln(2+3×

1

3

)-

3

2

×(

1

3

)2=ln3-

1

6

．
（2）g（x）=f（x）+

3

2

x2+(m-1)x=ln（2+3x）+（m-1）x．定义域为(-

2

3

，+∞)．
g′（x）=

3

2+3x

+m-1=

3(m-1)x+2(m-1)+3

2+3x

．
当m≥1时，g′（x）＞0在x∈(-

2

3

，+∞)恒成立，此时函数g（x）单调递增；
当m＜1时，g′（x）=

3(m-1)[x+ 2m+1 3(m-1) ]

2+3x

，
∵-

2m+1

3(m-1)

=

1

1-m

-

2

3

＞-

2

3

，令g′（x）=0，解得x=

2m+1

3(1-m)

．
当x＞

2m+1

3(1-m)

时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当-

2

3

＜x＜

2m+1

3-3m

时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
综上可知：当m≥1时，函数g（x）单调递增；
当m＜1时，当x＞

2m+1

3(1-m)

时，此时函数g（x）单调递减；当-

2

3

＜x＜

2m+1

3-3m

时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．

点评：本题考查了导数与函数单调性极值的关系，属于中档题．