题目内容
已知函数f（x）=alnx+ex（a＞0），若f（3x）＜f（x2+2），则实数x的取值范围是________．
（0，1）∪（2，+∞）
分析：利用导数确定函数为单调增，再转化为常见的不等式，我们就可以求出实数x的取值范围．
解答：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得：f′（x）=
+ex
∵a＞0，x＞0
∴f′（x）＞0
∴函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∴0＜3x＜x2+2，
∴
∴0＜x＜1，或x＞2
∴实数x的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）
故答案为：（0，1）∪（2，+∞）
点评：求解像本题这类问题，我们都是要研究出函数的单调性，再转化为常见的不等式，易错点是忘了函数的定义域限制导致转化不等价．
分析：利用导数确定函数为单调增，再转化为常见的不等式，我们就可以求出实数x的取值范围．
解答：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得：f′（x）=
+ex∵a＞0，x＞0
∴f′（x）＞0
∴函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∴0＜3x＜x2+2，
∴
∴0＜x＜1，或x＞2
∴实数x的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）
故答案为：（0，1）∪（2，+∞）
点评：求解像本题这类问题，我们都是要研究出函数的单调性，再转化为常见的不等式，易错点是忘了函数的定义域限制导致转化不等价．
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