Question

已知双曲线C：

x2

4

-y2=1，P为C上的任意点．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据双曲线的标准方程，利用其几何性质，即可求出双曲线的渐近线方程；
（2）先设A的坐标为（x，y），根据两点间的距离公式表示出PA|²并根据双曲线的方程，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．

解答：解：（1）双曲线C：

x2

4

-y2=1的渐近线方程

x2

4

-y2=0，即x-2y=0和x+2y=0．
（2）设P的坐标为（x，y），则
|PA|²=（x-3）²+y²=（x-3）²+

x2

4

-1=

5

4

（x-

12

5

）²+

4

5

∵|x|≥2，∴当x=

12

5

时，|PA|²的最小值为

4

5

，
即|PA|的最小值为

2 5

5

．

点评：本题主要考查双曲线的基本性质--渐近线方程，考查两点间的距离公式．