Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=0和函数f（x）的值域为[0，+∞），建立方程关系，即可求出a，b，从而确定F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，利用g（x）=f（x）-kx的单调区间与对称轴之间的关系建立不等式进行求解即可．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0，①
∵函数f（x）的值域为[0，+∞），
∴a＞0且判别式△=0，即b²-4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax²+bx+1═x²+2x+1．
∴F（x）=

x2+2x+1，  x＞0 -x2-2x-1， x＜0

．
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
函数的对称轴为x=-

2-k

2

=

k-2

2

，
要使函数g（x）=f（x）-kx，在x∈[-2，2]上是单调函数，
则区间[-2，2]必在对称轴的一侧，
即

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-2，
解得k≥6或k≤-2．
即实数k的取值范围是k≥6或k≤-2．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数单调性与对称轴之间的关系．