Question

9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a-c=$\frac{\sqrt{6}}{6}$b，sinB=$\sqrt{6}$sinC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理解余弦定理即可求cosA的值；
（Ⅱ）利用二倍角的正弦、余弦公式求得sin2A、cos2A，在利用两角差的余弦公式求得$cos（2A-\frac{π}{3}）$．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$及$sinB=\sqrt{6}sinC$，
可得$b=\sqrt{6}c$，（2分）
又由$a-c=\frac{{\sqrt{6}}}{6}b$，有a=2c（4分）
所以cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{6{c}^{2}+{c}^{2}-4{c}^{2}}{2\sqrt{6}{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$；                        （6分）
（Ⅱ）在△ABC中，由$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，可得$sinA=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$，（7分）
所以$cos2A=2{cos^2}A-1=-\frac{1}{4}，sin2A=2sinAcosA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，（9分）
所以cos（2A-$\frac{π}{3}$）=cos2Acos$\frac{π}{3}$+sin2Asin$\frac{π}{3}$=$-\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{-1+3\sqrt{5}}{8}$．（12分）

点评 本题主要考查解三角形的应用，在求解三角形时，要注意正弦定理、余弦定理的正确使用，在求解两角和与差的三角函数时，要注意结合角的范围，求出要用到的角的三角函数值，并利用公式正确求解．