Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），且f（1）=，f（x）的最大值为．
（1）求a和b，c的值；
（2）解不等式．

Answer 1

解：（1）∵f（2+x）=f（2-x）
∴二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）的图象关于直线x=2对称．
∴f（2）=4a+2b+c=①且f（1）=a+b+c=②，③，联立①②③解得：
a=-1，b=4，c=．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减且c=．
∴，，
由原不等式得：，

故原不等式的解集是．
分析：（1）由f（2+x）=f（2-x）可知f（x）图象关于x=2对称，即=2，由最大值为得f（2）=，即4a+2b+c=，由f（1）=，得a+b+c=，联立方程组解出即可；
（2）由（1）可求出f（x）的单调区间，根据单调性可去掉不等式中符号“f”，转化为二次不等式组，解出即可，注意对数函数的定义域；
点评：本题考查二次函数的性质及复合函数的单调性，考查学生的计算能力及灵活运用知识解决问题的能力，属中档题．