Question

经过点M（2，2）作直线L交双曲线x²-

y2

4

=1于A，B两点，且M为AB中点
（1）求直线L的方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）可先设A（x₁，Y₁），B（X₂，Y₂），再分别代入双曲线方程，作差即可求出直线斜率，进而可求直线方程．
（2）把（1）中所求直线方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，求x₁+x₂和x₁x₂，再利用弦长公式求线段AB的长．

解答：解（1）设A（x₁，Y₁），B（X₂，Y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=4，由x12- 

y12

4

= 1x22-

y22

4

= 1，得
（x₁+x₂）（x₁-x₂）-

1

4

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0所以k_AB=

(y1-y2)

(x1-x2)

=4
直线L的方程为y=4x-6．
（2）把y=4x-6．代入x²-

y2

4

=1消去y得3x²-12x+10=0
所以（x₁+x₂）=4，x₁x₂=

10

3

，从而得|AB|=

2 102

3

点评：本题考查点差法求中点弦方程以及弦长公式求弦长，属典型习题，应该掌握．