Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2-b2=

2 3

3

acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，且A∈(

π

6

，

π

2

)，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式变形后利用余弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）利用正弦定理列出关系式，表示出a+c，根据B的度数设出A与B，代入表示出的a+c中，利用和差化积公式变形，根据余弦函数的值域即可确定出a+c的范围．

解答：解：（1）在△ABC中，∵a²+c²-b²=

2 3

3

acsinB，
∴

a2+c2-b2

2ac

=

3

3

sinB，即cosB=

3

3

sinB，
∴tanB=

3

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

；
（2）∵b=

3

，
∴

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

3 2

=2，
∴

a+c

sinA+sinC

=2，即：a+c=2（sinA+sinC），
又∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，设A=

π

3

+α，B=

π

3

-α，
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

3

＜α＜

π

3

，
∴

1

2

＜cosα≤1，
∴a+c=2（sinA+sinC）=4sin

π

3

•cosα=2

3

cosα，
∴

3

＜a+c≤2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及余弦函数的值域，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．