Question

函数y=log_a^（x-3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线

x

n

+

y

m

=1上，其中mn＞0，则m+n的最小值为（　　）

A．9

B．8

C．3

D．27

Answer 1

分析：由题意可知点A的坐标为（4，1），于是有

4

n

+

1

m

=1，而m+n=（m+n）•（

4

n

+

1

m

），利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵函数y=log_a^（x-3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，
∴A的坐标为（4，1），
又点A在直线

x

n

+

y

m

=1上，
∴

4

n

+

1

m

=1，又mn＞0，
∴m＞0，n＞0，
∴m+n=（m+n）•（

4

n

+

1

m

）=

4m+4n

n

+

m+n

m

=5+

4m

n

+

n

m

≥9（当且仅当m=3，n=6时取“=”）．
故选A．

点评：本题考查基本不等式，关键在于得到

4

n

+

1

m

=1，（m＞0，n＞0）后运用整体代换，再利用基本不等式解决，属于中档题．