Question

已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，

① 方程有实数根；② 函数的导数满足．

（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；

（Ⅲ）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函数是集合中的元素.

（Ⅱ）方程有且只有一个实数根.

（Ⅲ）对于任意符合条件的,总有成立.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为①当时，，

所以方程有实数根0；

②，

所以，满足条件；

由①②，函数是集合中的元素.            5分

（Ⅱ）假设方程存在两个实数根，，

则，.

不妨设，根据题意存在，

满足.

因为，，且，所以.

与已知矛盾.又有实数根，

所以方程有且只有一个实数根.                     10分

（Ⅲ）当时，结论显然成立；                   11分

当，不妨设.

因为,且所以为增函数，那么.

又因为，所以函数为减函数，

所以.

所以，即.

因为，所以， （1）

又因为，所以， （2）

（1）（2）得即.

所以.

综上，对于任意符合条件的,总有成立.  14分

考点：本题主要考查集合的概念，函数与方程，导数研究函数单调性的应用，，反证法，不等式的证明。

点评：综合题，本题综合性较强，难度较大。证明方程只有一个实根，可通过构造函数，研究其单调性实现，本解法运用的是反证法。由自变量取值，且，确定函数值的关系，关键是如何实现两者的有机转换。