Question

在△ABC中，sinA+cosA=

2

2

，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）化简sinA+cosA=

2

2

，根据特殊角的三角函数值得到A的度数，然后再用
tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，求出tanA；
（2）利用sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ求出sinA，然后用S_△ABC=

1

2

AC•ABsinA面积公式求出即可．

解答：解：（1）∵sinA+cosA=

2

sin（A+45°）=

2

2

，
∴sin（A+45°）=

1

2

．
又0°＜A＜180°，
∴A+45°=150°，A=105°．
∴tanA=tan（45°+60°）=

1+ 3

1- 3

=-2-

3

．
（2）由（1）得：sinA=sin105°=sin（45°+60°）
=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

2 + 6

4

．
∴S_△ABC=

1

2

AC•ABsinA=

1

2

•2•3•

2 + 6

4

=

3

4

（

2

+

6

）．

点评：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力．