Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（N=1，2，3，…）则数列{a_n}的通项公式为a_n=（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{n-1}}$
• B． $\frac{1}{n}$
• C． $\frac{n}{n+1}$
• D． $\frac{1}{2n-1}$

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后可得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+1$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=1$，
又a₁=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=1+1×（n-1）=n$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{n}$．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．