Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），点（-1，）在椭圆C上，点T满足（其中O为坐标原点），过点F作一直线交椭圆于P、Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△PQT面积的最大值；
（3）设点P′为点P关于x轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（理）解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），点（-1，）在椭圆C上，
∴，
解得a²=2，b²=1，
所以，椭圆方程为．
（2）由，得（m²+2）y²+2my-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由条件可知，点T（2，0）．
S_△PQT=|FT||y₁-y₂|=•=，
令t=，则t∈（0，]，
则S_△PQT==≤，
当且仅当t=，即m=0（此时PQ垂直于x轴）时等号成立，
所以S_△PQT的最大值是．
（3）与共线 
P′（x₁，-y₁），=（x₂-x₁，y₂+y₁），=（x₂-2，y₂），
由（x₂-x₁）y₂-（x₂-2）（y₁+y₂）
=-x₁y₂-x₂y₁+2（y₁+y₂）
=-（my₁+1）y₂-（my₂+1）y₁+2（y₁+y₂）
=-2my₁y₂+（y₁+y₂）
=-2m•+=0，
所以，与共线
分析：（1）由椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），点（-1，）在椭圆C上，知，由此能求出椭圆方程．
（2）由，得（m²+2）y²+2my-1=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由条件可知，点T（2，0）．S_△PQT=|FT||y₁-y₂|，由此能推导出S_△PQT的最大值．
（3）与共线，P′（x₁，-y₁），=（x₂-x₁，y₂+y₁），=（x₂-2，y₂），由（x₂-x₁）y₂-（x₂-2）（y₁+y₂）=0，得到与共线．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．