Question

6．设函数f（x）=e^x+ax+b点（0，f（0））处的切线方程为x+y+1=0．
（Ⅰ）求a，b值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）＞x²+4$\sqrt{x+1}$-2x-8．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义以及切线方程建立方程关系即可求a，b值以及f（x）的单调区间；
（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值关系即可证明不等式．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a，
由已知，f′（0）=-1，f（0）=-1，
故a=-2，b=-2，
f′（x）=e^x-2，
当x∈（-∞，ln2）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增；…（6分）
（Ⅱ）当x≥0时，$2\sqrt{x+1}≤（x+1）+1=x+2$，
所以${x}^{2}+4\sqrt{x+1}-2x-8$≤x²+2（x+2）-2x-8=x²-4，
设g（x）=f（x）-（x²-4）=e^x-x²-2x+2，
g′（x）=e^x-2x-2在（ln2，+∞）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增，
因为g′（0）=-1＜0，g′（2）=e²-4＞0，0＜ln2＜2，
所以g′（x）在[0，+∞）只有一个零点x₀，且x₀∈（0，2），${e}^{{x}_{0}}$=2x₀+2，
当x∈[0，x₀）时，g′（x）＜0，
当x∈（x₀，+∞）时，g′（x）＞0，
即g（x）在[0，x₀）单调递减，在（x₀，+∞）时，单调递增，
当x≥0时，g（x）≥g（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-{x}_{0}^{2}-2{x}_{0}+2$=4-${x}_{0}^{2}＞0$，
即f（x）＞x²-4，
因此f（x）＞x²+4$\sqrt{x+1}$-2x-8．…（12分）

点评 本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性的应用，综合考查导数的应用，运算量较大，综合性较强．