题目内容

已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+
1
n
）2•an．
（1）求证数列{
an
n2
}是等比数列，并求其通项公式；
（2）设b n=
an
n
，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设Cn=
n
an
，求证：c1+c2+c3+…+cn＜
7
10
．
（1）∵an+1=2（1+
1
n
）2•an，
∴
an+1
(n+1)2
=2•
an
n2

∵a1=2，∴{
an
n2
}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴
an
n2
=2n
∴an=n2•2n；  
（2） bn=
an
n
=n•2n
∴Sn=1•21+2•22+…+n•2n
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得-Sn=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=2+（n-1）•2n+1；
（3）证明：cn=
n
an
=
1
n•2n
＞0，
设Tn=c1+c2+c3+…+cn，则T1＜T2＜T3＜T4，
当n≥4时，Tn=
1
1•2
+
1
2•22
+…+
1
n•2n
＜
1
2
+
1
8
+
1
4
(
1
24
+…+
1
2n
)=
2
3
+
1
4
•
1
23
-
1
4
•(
1
2
)n＜
2
3
+
1
4
•
1
23
＜
2
3
+
1
30
=
7
10

综上：c1+c2+c3+…+cn＜
7
10
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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