Question

方程8x²＋6kx＋2k＋1＝0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值，若能，求出k的值；若不能，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值

【解析】设直角三角形两锐角分别为α、β，设已知方程的两根为x₁、x₂，

则x₁＝sinα，x₂＝sinβ＝sin＝cosα

由韦达定理得：

x₁＋x₂＝sinα＋cosα＝sin

x₁·x₂＝sinα·cosα＝sin2α

于是有，

即，∴，

易知该混合组无解．

故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值．

[点评]　此题易产生下面错解．

设直角三角形的两个锐角分别为α和β.

已知方程的两根为x₁和x₂，则x₁＝sinα，x₂＝sinβ.

又α与β互余，∴x₂＝sin＝cosα.

由sin²α＋cos²α＝1得

x＋x＝1⇒(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝1.

由韦达定理得： ²－2·＝1⇒9k²－8k－20＝0.解得：k₁＝2，k₂＝－.

错因是忽视了一元二次方程有实根应满足Δ≥0，锐角的三角函数值应为正值的条件．事实上，当k＝2时，原方程可化为8x²＋12x＋5＝0，此时Δ<0，方程无实根．当k＝－时，原方程化为：8x²－x－＝0，此时x₁x₂＝－，即sinαcosα＝－.∵α是锐角，∴该式显然不成立．