题目内容

已知 $数学公式$ =（2sinx，-cos2x）， $数学公式$ =（6，-2+sinx）， $数学公式$ =（ $数学公式$ cosx，sinx）．其中0≤x≤ $数学公式$ ．
（Ⅰ）若 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，求sinx的值；
（Ⅱ）设f（x）= $数学公式$ •（ $数学公式$ - $数学公式$ ）+3 $数学公式$ ，求f（x）的最大值．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 得
2sinx（-2+sinx）=-6cos2x（2分）
∴-4sinx+2sin²x=-6（1-2sin²x）
∴5sin²x+2sinx-3=0 （sinx+1）（5sinx-3）=0
因为0≤x≤ $\text{[math]}$ ．所以sinx= $\text{[math]}$
（6分）
（2） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（6- $\text{[math]}$ cosx，-2）
∴f（x）=2sinx（6- $\text{[math]}$ cosx）+2cos2x+3[36+（-2+sinx）²]
=12sinx-sinxcosx+2cos2x+108+3sin²x-12sinx+12
=120- $\text{[math]}$ sin2x+2cos2x+3- $\text{[math]}$
=120+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x
= $\text{[math]}$ （10分）
因为0≤x≤ $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （12分）
分析：（Ⅰ）通过 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，推出关于sinx的表达式，然后根据x的范围求出sinx的值．
（Ⅱ）求出f（x）= $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+3 $\text{[math]}$ 的相关量，然后求f（x）的表达式，结合x的范围求出函数的最大值．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量平行的应用，考查计算能力，注意函数的最值的求法角的范围的应用．