Question

（2012•邯郸一模）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为60°的直线l过点F且与抛物线的一个交点为A，|AF|=3，则抛物线的方程为（　　）

• A．y²=3x
• B．y2=

  9

  2

  x
• C．y2=

  3

  2

  x或y2=

  9

  2

  x
• D．y²=3x或y²=9x

Answer 1

分析：过A作AB⊥x轴于B点，Rt△ABF中，由∠AFB=60°且|AF|=3，得|AB|=

3 3

2

，从而设A的坐标为（x₀，

3 3

2

）．由抛物线的定义结合点A在抛物线上，列出关于x₀和

p

2

的方程组，解之可得p的值，从而得到该抛物线的方程．

解答：解：过A作AB⊥x轴于B点，则
Rt△ABF中，∠AFB=60°，|AF|=3
∴|BF|=

1

2

|AF|=

3

2

，|AB|=

3

2

|AF|=

3 3

2

设A的坐标为（x₀，

3 3

2

）
得

x0+ p 2 =3 ( 3 3 2 )2=2px0

，解之得p=

3

2

或p=

9

2

∴抛物线的方程为y²=3x或y²=9x
故选：D

点评：本题已知抛物线的一条倾角为60度的焦半径长，求抛物线标准方程，考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．