Question

10．设|x|≠1，求证：$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{4}}$+$\frac{{x}^{4}}{1-{x}^{8}}$+…+$\frac{{x}^{{2}^{n-1}}}{1-{x}^{2n}}$=$\frac{1}{1-x}$•$\frac{x-{x}^{{2}^{n}}}{1-{x}^{{2}^{n}}}$（其中n∈N^*）

Answer 1

分析 通过$\frac{x}{1-x}$利用分式同乘1+x，拆项得到$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$，把后一项，利用相同的方法处理，类推，然后移项整理即可．

解答 证明：∵$\frac{x}{1-x}$=$\frac{x（1+x）}{1-{x}^{2}}=\frac{x+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}（1+{x}^{2}）}{1-{x}^{4}}$=$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{4}}$+$\frac{{x}^{4}}{1-{x}^{4}}$=…
=$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{4}}$+$\frac{{x}^{4}}{1-{x}^{8}}$+…+$\frac{{x}^{{2}^{n-1}}}{1-{x}^{2n}}$+$\frac{{x}^{{2}^{n}}}{1-{x}^{2n}}$，
∴$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{4}}$+$\frac{{x}^{4}}{1-{x}^{8}}$+…+$\frac{{x}^{{2}^{n-1}}}{1-{x}^{2n}}$=$\frac{x}{1-x}$-$\frac{{x}^{2n}}{1-{x}^{2n}}$=$\frac{x-{x}^{2n}}{（1-x）（1-{x}^{2n}）}$=$\frac{1}{1-x}$•$\frac{x-{x}^{2n}}{1-{x}^{2n}}$．
∴等式成立．

点评 本题考查综合法证明等式成立的方法，也可以利用数学归纳法证明，注意本题的解题策略．