Question

已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若f-1(1)=

1

3

，解关于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）．

Answer 1

分析：（1）先化简得y=log_a

1+x

1-x

，用y表示出x，再交换x，y的位置，即得所求的反函数，原函数的值域即为反函数的定义域；
（2）根据f-1(1)=

1

3

求出a的值，然后根据f^-1（x）＜m，讨论m的取值范围可求出不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）
∴y=log_a

1+x

1-x

即a^y=

1+x

1-x

∴a^y-1=x（a^y+1）
即x=

ey-1

ey+1

∴f^-1（x）=

ax-1

ax+1

（x∈R）；--------------------------（4分）
（2）f^-1（1）=

1

3

∴

1

3

=

a-1

a+1

即a=2，
∴f^-1（x）=

2x-1

2x+1

＜m，
∴2^x（1-m）＜1+m；--------------------------（6分）
①当m≥1时，不等式解集为x∈R；--------------------------（8分）
②当-1＜m＜1时，得2^x＜

1+m

1-m

，不等式的解集为{x|x＜log2

1+m

1-m

}；------（10分）
③当m≤-1时，x∈φ--------------------------（12分）

点评：本题主要考查了反函数的求法，以及对数的运算法则，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．