Question

如图是某筒谐运动的一段图象，其函数模型是f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0），其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

．
（1）根据图象求函数y=f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x+

π

6

）．实数a满足0＜a＜π．且

∫

π a

g（x）dx=3．求a的值．

Answer 1

分析：（1）由图象可求得A=2，ω=1，从而可得函数的解析式；
（2）由（1）知g（x）=f（x+

π

6

）=2sinx，利用积分公式可求得

∫

π a

g（x）dx=

∫

π a

2sinxdx=-2cosx

|

π a

=-2cosπ+2cosa=3，继而可求得a的值．

解答：解：（1）∵A＞0，f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0）知
f（x）_max=A=2，f（x）_min=-A=-2，
∴A=2…2′
由

1

2

T=

7π

6

-

π

6

=π，
∴T=2π，又T=

2π

ω

（ω＞0）
∴

2π

ω

=2π，
∴ω=1…4′
∴函数的解析式为y=f（x）=2sin（x+φ），
由图可知，

π

6

+φ=2kπ，（也可用

7π

6

+φ=π来解）．
∴φ=-

π

6

．
∴所求的函数的解析式为y=f（x）=2sin（x-

π

6

）…6′
（2）由（1）知g（x）=f（x+

π

6

）=2sinx．
∵

∫

π a

g（x）dx=

∫

π a

2sinxdx=-2cosx

|

π a

=-2cosπ+2cosa=3，
∴cosa=

1

2

，又0＜a＜π，
∴a=

π

3

…12′

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及定积分的简单应用，关键在于数量掌握求A，ω的方法及定积分公式，属于中档题．