题目内容
已知关于n的不等式2n2-n-3＜（5-λ）（n+1）2n对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________．
λ＜
分析：根据不等式的基本性质，将原不等式转化为：5-λ＞
对任意n∈N*恒成立，通过研究右边式子的单调性，可得当n=3时，右边的最大值为
，从而5-λ＞，解之即得λ的取值范围．
解答：∵n∈N*，∴n+1＞0
在不等式2n2-n-3＜（5-λ）（n+1）2n两边都除以n+1，得
2n-3＜（5-λ）2n对任意n∈N*恒成立，即5-λ＞
设f（n）=，可得
当n=1时，=-
＜0
当n≥2时，＞0，
=
•
=
可得
=
＞1，
=
＜1，
=
＜1，…
由此可得，f（2）＜f（3），f（3）＞f（4），f（4）＞f（5），…
∴f（n）的最大值为f（3）=，
要使原不等式对任意n∈N*恒成立，必须5-λ＞，解之得λ＜
故答案为：λ＜
点评：本题给出关于n的式子恒成立，求参数λ的取值范围，着重考查了不等式的基本性质、不等式恒成立和简单的演绎推理等知识，属于中档题．
分析：根据不等式的基本性质，将原不等式转化为：5-λ＞
对任意n∈N*恒成立，通过研究右边式子的单调性，可得当n=3时，右边的最大值为，从而5-λ＞，解之即得λ的取值范围．解答：∵n∈N*，∴n+1＞0
在不等式2n2-n-3＜（5-λ）（n+1）2n两边都除以n+1，得
2n-3＜（5-λ）2n对任意n∈N*恒成立，即5-λ＞
设f（n）=
，可得当n=1时，
=-＜0当n≥2时，
＞0，=•=可得
=＞1，=＜1，=＜1，…由此可得，f（2）＜f（3），f（3）＞f（4），f（4）＞f（5），…
∴f（n）的最大值为f（3）=
，要使原不等式对任意n∈N*恒成立，必须5-λ＞
，解之得λ＜故答案为：λ＜
点评：本题给出关于n的式子恒成立，求参数λ的取值范围，着重考查了不等式的基本性质、不等式恒成立和简单的演绎推理等知识，属于中档题．
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