Question

已知实数x，y满足

x-y-2≤0 x+2y-5≥ y-2≤0

0，则z=

x2- xy+y2

xy

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据根的分布列出约束条件画出可行域，再化简z，最后利用几何意义求最值，（本例中

y

x

的取值的几何意义是斜率．）

解答：解：作出可行域，如图．
z=

x2- xy+y2

xy

=

x

y

+

y

x

-1
当把z'看作常数时，它表示直线y=z'x的斜率，
因此，当直线y=z'x过点A时，z最大；
当直线y=z'x过点B时，z最小．
由y=2，x+2y-5=0，得A（1，2）．
由x+2y-5=0，，x-y-2=0，得B（3，1）．
∴z'_max=2，z_min=

1

3

．
故z'的取值范围是[

1

3

，2]．
∴z=

x2- xy+y2

xy

=

x

y

+

y

x

-1的取值范围为[1，

7

3

]
故答案为：[1，

7

3

]

点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．