Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的最大值；

（2）若对于任意，均有，求正实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得不等式对于任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】分析：（1）先得出g（x）的具体表达式，然后结合基本不等式即可；

（2），设则.则在恒成立，接下来只需研究函数单调性确定其最小值解不等式即可；（3）存在实数，使得不等式对于任意恒成立，即存在实数，使得不等式对于任意恒成立，故研究函数单调性确定函数的最大值解不等式求解即可.

详解：

（1）

= ，

当且仅当即当时取，所以当时，.

(2)

设则.

则在恒成立，

记，

当时，在区间上单调增.

故，不成立.

当时，在区间上单调减，

在区间上单调增.

从而，，所以.

（3）存在实数，使得不等式对于任意恒成立，

即存在实数，使得不等式对

于任意恒成立，

记，则，

当时，，则在为增函数.

，此时不成立.

当时，由得，

当时，，则在为增函数.

当时，，则在为减函数.

所以，

当时.

满足题意当时，令，则记，则

当时，，，在为减函数.

,不成立，

当时，，，在为增函数.

,不成立综上，时满足题意.