Question

（2010•上虞市二模）已知函数f(x)=lnx+

1

x

+ax，其中x＞0，常数a∈R
（1）若函数f（x）在[1，+∞），上是单调函数，求a的取值范围
（2）若函数f（x）在[1，+∞）有最大值

2

e

（其中e为无理数，约为2.71828），求a的值

Answer 1

分析：（1）已知函数f(x)=lnx+

1

x

+ax，求出其导数f（x）′，然后根据f（x）在[1，+∞），上是单调函数，说明函数f（x）在[1，+∞），有f（x）′＞0，从而求解；
（2）由题意根据（1）求出f（x）的单调区间，因为函数f（x）在[1，+∞）有最大值

2

e

，讨论a的范围，确定最值落在哪个区间，从而求出a的值．

解答：解：（1）∵f(x)=lnx+

1

x

+axf/(x)=

1

x

-

1

x2

+a
若f/(x)=

1

x

-

1

x2

+a≥0对x∈[1，+∞）恒成立，则a≥

1

x2

-

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立，∴a≥0
若f/(x)=

1

x

-

1

x2

+a≤0对x∈[1，+∞）恒成立，则a≤

1

x2

-

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立，∴a≤-

1

4

∴当函数f（x）在[1，+∞）上是单调函数时，
∴所求a的取值范围为：a≥0或a≤-

1

4

；

（2）当a≥0时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）在[1，+∞）无最大值．
当a≤-

1

4

时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以由f(1)=

2

e

，得a=

2

e

-1＜-

1

4

当-

1

4

＜a＜0时，由f/(x)=

1

x

-

1

x2

+a＞0得ax²+x-1＞0，则α＜x＜β
（其中α=

-1+ 1+4a

2a

＞1，β=

-1- 1+4a

2a

＞-

1

2a

＞2）
∴函数f（x）在[1，α]上单调递减，在[α，β]上单调递增，在[β，+∞]上单调递减，
由f(1)=

2

e

，得a=

2

e

-1＜-

1

4

，不符要求．
由f(β)=

2

e

，得lnβ+

1

β

+aβ=

2

e

，
又∵aβ2+β-1=0，∴aβ=

1

β

-1代入得lnβ+

2

β

-1=

2

e

设函数h(x)=lnx+

2

x

-1-

2

e

(x＞2)，则h/(x)=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

＞0
所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增，而h（e）=0
∴β=e，所以a=

1-β

β2

=

1-e

e2

∴当a=

2

e

-1或a=

1-e

e2

时，
函数f（x）在[1，+∞）有最大值

2

e

．

点评：此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，要求学生掌握并会熟练运用导数判断函数的单调性，难度比较大．