Question

数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别是A_n和B_n，且b_n=n•a_n，．
（1）求证：数列{a_n}是从第三项起的等比数列；
（2）当数列{a_n}是从第一项起的等比数列时，用n的式子表示B_n；
（3）在（2）的条件下，对于给定的自然数k，当n＞k时，，且M∈（-1000，-100），试求k的值．

Answer 1

解：（1）证明：，当n≥3时，根据a_n=A_n-A_n-1，na_n=B_n-B_n-1，可得，即{a_n}从第三项起成等比．
（2）若{a_n}从第一项起成等比，那么由，，得，，，
故 ．
（3）∵，又∵，∴M=-2^2k，
由已知M∈（-1000，-100），∴2^2k∈（100，1000），∴2k=7，8，9，∵k∈N，故k=4为所求．
分析：（1）根据n≥3时，由a_n=A_n-A_n-1，na_n=B_n-B_n-1，可得，即{a_n}从第三项起成等比．
（2）若{a_n}从第一项起成等比，那么由，，求得 A_n和B_n．
（3）根据 及 ，可得 M=-2^2k，再由2^2k∈（100，1000），求出k．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，求数列极限的方法，求出M=-2^2k，是解题的难点．