Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=AA₁=a，BC=a,M是AD的中点.

（1）求证：AD∥平面A₁BC；

（2）求证：平面A₁MC⊥平面A₁BD₁；

（3）求点A到平面A₁MC的距离.

 

Answer 1

解法1：（1）证明如下：由已知AD∥BC,而BC在平面A₁BC内，AD在平面A₁BC外，所以AD∥平面A₁BC.

 

（2）证明如下：连结BD，得△DAB∽△CDM,

∴∠ADB=∠DCM.由=,∠DAB=∠CDM.

又∠DCM+∠DMC=90°,

∴∠ADB+∠DMC=90°.故BD⊥CM,又BD是BD₁在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理可知BD₁⊥CM.

同理可得BD₁⊥A₁M,

∴BD₁⊥平面A₁MC.又BD₁平面A₁BD₁，

∴平面A₁MC⊥平面A₁BD₁.

（3）取BC的中点P，设O为A₁C与BD₁的交点，OC的中点Q，连结AP、PQ，由AP∥MC知点A到平面A₁MC的距离等于点P到平面A₁MC的距离，由P、Q分别是BC、OC的中点知PQ∥BO,PQ=BO.又BO⊥平面A₁MC，∴PQ⊥平面A₁MC.而BO=a,∴PQ=a,即点A到平面A₁MC的距离为a.

解法2：以D为原点，以射线DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，可知各点坐标分别为D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),

M(a,0,0),D₁(0,0,a),A₁(a,0,a).

(1)由此可得=(a,0,0),=(a,-a,0),

所以=.故∥.而BC在平面A₁BC内，AD在平面A₁BC外，所以AD∥平面A₁BC.

(2)=(a,0,a),=(,-a,0), ·=0,故BD₁⊥CM.同理可得BD₁⊥A₁M,∴BD₁⊥平面A₁MC.又BD₁平面A₁BD₁，∴平面A₁MC⊥平面A₁BD₁.

(3)=(,0,0),=(a,0,-a)由（2）知是平面A₁MC的法向量.

∴点A到平面A₁MC的距离为.