Question

（本小题满分13分）

如图，直三棱柱中，AB＝2，

，

（Ⅰ）求直三棱柱侧视图的面积；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）在线段A₁C上是否存在一点P，使PC₁与平面所成的角的正弦值为？如果存在，求出P点与C点的距离；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）在平面ABC内，过B点作BO⊥AC，垂足为O。

△ABC中，由正弦定理得……………………2分

∴∠ABC=90°，则.

∴直三棱柱侧视图的面积为……………………4分

（Ⅱ）∵∠ABC=90°即

     ∵，    ……………………6分

又，

……………………8分

（Ⅲ）以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，

则，。

设，则  ………10分

设平面的法向量为

由  即，令得，∴

，或

则P点与C点的距离为或。             ……………………13分