Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3且2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N⁺）数列{b_n}的前n项和为S_n，其中b1=-

3

2

，bn+1=-

2

3

Sn(n∈N+).
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

，求Tn的表达式．

Answer 1

分析：（1）由2a_n+1=a_n+2+a_n可得数列{a_n为等差数列，由a₁=1，a₂=3可得d=2代入可求数列{a_n的通项公式；利用递推公式bn=

Sn-Sn-1，n≥2 S1         n=1

，可得

bn+1

bn

=

1

3

，

b2

b1

=-

2

3

，数列{b_n从第二项开始的等比数列，代入求数列{b_n}的通项公式；
（2）由于数列{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，利用乘公比错位相减法求和．

解答：解：（1）∵2a_n+1=a_n+2+a_n∴数列{a_n}是等差数列，（1分）
∴公差d=a₂-a₁=2∴a_n=2n-1 （3分）
∵b_n+1=-

2

3

S_n∴b_n=-

2

3

S_n-1（n≥2）
b_n+1-b_n=-

2

3

bn，∴bn+1= 

1

3

bn
又∵b₂=-

2

3

S₁=1

b2

b1

=-

2

3

≠

1

3

∴数列{b_n}从第二项开始是等比数列，
∴bn=

- 3 2 ，(n=1) ( 1 3 )n-2，(n≥2)

（6分）
（2）∵n≥2时

an

bn

=(2n-1)•3n-2（7分）∴Tn=

a1

b1

+

a2

b2

++

an

bn

=-

2

3

+3×30+5×31+7×32++(2n-1)×3n-2
∴3T_n=-2+3×3¹+5×3²+7×3³++（2n-1）×3^n-1（10分）
错位相减并整理得Tn=-

2

3

+(n-1)×3n-1．（12分）

点评：本题主要考查由等差中项法证明数列是等差数列进而求等差数列的通项公式、由递推公式求证等比数列，运用递推公式时一定要注意n≥2的条件及对n=1的检验；错位相减求和是数列求和的重要方法，要注意掌握．