题目内容
已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且对定义域中任意x均有：f（x）•f（-x）=1，
g（x）=
，则g（x）（ ）
g（x）=
| f(x)-1 |
| f(x)+1 |
| A、是奇函数 |
| B、是偶函数 |
| C、既是奇函数又是偶函数 |
| D、既非奇函数又非偶函数 |
分析：由题意先判断函数g（x）的定义域关于原点对称，再求出g（-x）与g（x）的关系，判断出其奇偶性．
解答：解：由题意，要使函数g（x）有意义，则f（x）+1≠0，即f（x）≠-1，
∵对定义域中任意x均有：f（x）•f（-x）=1，
∴若f（a）=-1时，则有f（-a）=-1，
∵函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∴函数g（x）的定义域也关于原点对称，
∵g（-x）=
=
=-
=-g（x），
∴函数g（x）是奇函数．
故选A．
∵对定义域中任意x均有：f（x）•f（-x）=1，
∴若f（a）=-1时，则有f（-a）=-1，
∵函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∴函数g（x）的定义域也关于原点对称，
∵g（-x）=
| f(-x)-1 |
| f(-x)+1 |
| ||
|
| f(-x)-1 |
| f(-x)+1 |
∴函数g（x）是奇函数．
故选A．
点评：本题考查了函数的奇偶性的判断方法，即先求函数的定义域判断是否关于原点对称，再利用奇函数和偶函数的定义进行验证，易忽视是求函数的定义域．
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