Question

甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例常数为b,固定部分为a元.

(1)把全程运输成本y元表示为速度v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域;

(2)为了使全程运输成本最少,汽车应以多大的速度行驶?

Answer 1

解析:(1)因为汽车每小时的运输成本为bv²+a(元),全程时间为(小时),故y=(bv²+a),即y=s(+bv),v∈(0,c］.

(2)由于+bv≥,仅当v=时取等号,故①若≤c,则当v=时,y取最小值.

②若≥c,则先证y=s(+bv),v∈(0,c］为单调减函数.

事实上,当v₁、v₂∈(0,c］,且v₁＜v₂,则y₁-y₂=s［(+bv₁)-(+bv₂)］

=s［(-)+(bv₁-bv₂)］

=s(v₁-v₂)(b-)

=sb(v₁-v₂)·.

∵v₁、v₂∈(0,c］,v₁＜v₂,

∴v₁-v₂＜0,v₁v₂＞0,v₁＜,v₂≤.

进而v₁v₂＜,从而y₁-y₂＞0.

故y=s(+bv),v∈(0,c］为单调减函数,由此知当v=c时取得最小值.

综上可知,若≤c,则当v=时,y取最小值;若≥c,则当v=c时取得最小值.