Question

已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧．
（Ⅰ）求证：直线与抛物线C恒有两个不同交点；
（Ⅱ）已知定点A（1，0），若直线与抛物线C的交点为Q，R，满足，是否存在实数m，使得原点O到直线的距离不大于，若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）联立x+y=m与y²=2px，证明△＞0，即可得到直线l与抛物线C恒有两个不同交点；    
（Ⅱ）根据，结合韦达定理，求出p的表达式，利用原点O到直线l的距离不大于，确定m的范围，由此可得正实数p的取值范围．
解答：（Ⅰ）证明：由题知，
联立x+y=m与y²=2px，消去x可得y²+2py-2pm=0…（*）
∵p＞0且，∴△=4p²+8pm＞0，
所以直线l与抛物线C恒有两个不同交点；                                 …4分
（Ⅱ）解：设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），由（*）可得y₁+y₂=-2p，y₁•y₂=-2pm
故

=2y₁y₂+（1-m）（y₁+y₂）+（m-1）²=m²-（2+2p）m+1-2p=0
∴
又由原点O到直线l的距离不大于，则有，
由（Ⅰ）有，即，结合，化简该不等式得：5m²+2m+1＞0，恒成立，
∴，令t=m+1，则
而函数在上单调递减，∴
∴存在m且，实数p的取值范围为．…10分．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查函数的单调性，确定p的表达式是关键．