Question

已知函数f(x)=

ax+b

x-1

的图象经过(-1，0)，(5，

3

2

)两点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的图象经过两点，建立关于a和b的方程组，解之即可；
（2）先根据函数单调性的定义判定出函数f（x）在区间[2，6]上的单调性，然后根据单调性将端点的函数值求出，即可求出最值．

解答：（1）解：依题意得

-a+b -2 =0 5a+b 4 = 3 2

解得：

a=1 b=1

∴f（x）=

x+1

x-1

（2）任取2≤x₁＜x₂≤6
∵f（x）=

2

x-1

+1
∴f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵2≤x₁＜x₂≤6
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
从而f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在[2，6]上为减函数，
从而f（x）max=f（2）=3，f（x）min=f（6）=

7

5

．

点评：本题主要考查了函数的解析式的求解，以及分式函数的单调性的判定等有关知识，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．