Question

已知数列{a_n}满足a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），a₁=f（1），a₂=f（2），其中f（x）=2^x-1，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：{

3n+2Sn

n

}为等差数列；
（3）若b_n=（-1）ⁿS_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1+a_n-1=2a_n，可知数列{a_n}为等差数列，由f（x）=2^x-1，可求a₁，a₂，进而可求公差d，从而可求通项
（2）由等差数列的求和公式可得，cn=

3n+Sn

n

=3+2n，要证明数列{

3n+2Sn

n

}为等差数列，只要证明c_n+1-c_n=d（d为常数）
（3）由题意可得，b_n=（-1）ⁿS_n=（-1）ⁿn²，T_n=-1+2²-3²+4²-…+（-1）ⁿn²，结合所要求的式子的特点，考虑需要分n为偶数，n为奇数分别进行求解

解答：解：（1）∵a_n+1+a_n-1=2a_n
由等差数列的定义知，数列{a_n}为等差数列
∵f（x）=2^x-1
∴a₁=f（1）=1，a₂=f（2）=3
∴d=2
∴a_n=1+（n-1）2=2n-1（n∈N^*）…4分
证明：（2）由等差数列的求和公式可得，Sn=n+

n(n-1)

2

×2=n2…6分
令cn=

3n+Sn

n

=3+2n，则c_n+1-c_n=2（为与n无关的常数），…7分
所以，{

3n+2Sn

n

}是以5为首项、以2为公差的等差数列 …8分
解：（3）∵b_n=（-1）ⁿS_n=（-1）ⁿn²
∴T_n=-1+2²-3²+4²-…+（-1）ⁿn²…10分
当n为偶数时，T_n=-1+2²-3²+4²-…-（n-1）²+n²
=3+7+11+…+（2n-1）
=

(3+2n-1) n 2

2

=

n(n+1)

2

．…12分
当n为奇数时，T_n=-1+2²-3²+4²-…+（-1）ⁿn²
=T_n-1-n²=

(n-1)n

2

-n2=-

n(n+1)

2

…13分
综上可得，Tn=-1+22-32+42-…+(-1)nn2=(-1)n

n(n+1)

2

…14分

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，等差数列的定义法证明，及数列的求和，属于数列知识的综合应用．