Question

如图示，已知圆C：（x+1）²+y²=16，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）过点A作AS⊥AC交曲线E于S，求|CS|；
（3）若Q是曲线E上的一个动点，求

QC

•

QA

的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）利用线段垂直平分线的性质推出 NC+NM=r=4＞AC，再利用椭圆的定义知，点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，利用待定系数法求出椭圆的方程；
（2）求出S的坐标，利用椭圆的定义，即可求解；
（3）表示出

QC

•

QA

，结合x的范围，可得结论．

解答：解：（1）设点N的坐标为（x，y），
∵

AM

=2

AP

，∴点P为AM的中点，
∵

NP

•

AM

=0，∴NP⊥AM，∴NP是线段AM的垂直平分线，∴NM=NA，
又点N在CM上，设圆的半径是r，则r=4，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=r=4＞AC，
∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，
∴2a=4，c=1，∴a=2，b=

3

，
∴曲线E的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）x=1时，y=±

3

2

，∴|AS|=

3

2

，∴|CS|=

5

2

；
（3）设Q（x，y），则

QC

•

QA

=（-1-x，-y）（1-x，-y）=x²-1+y²=2+

1

4

x2
∵0≤x²≤4
∴2≤2+

1

4

x2≤3
∴

QC

•

QA

的最小值2，最大值3．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．