Question

已知函数f(x)=

-x3+x2(x＜1) a•(1+lnx) x (x≥1)

，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y轴上．如果存在，求出实数a的范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t），根据题意，可得

OP

•

OQ

=0，且△POQ斜边的中点在y轴上，得到Q的坐标，将是否存在两点P，Q满足题意等价转化成关于t的方程是否有解的问题，再对t分类讨论，运用导数求解，即可得到答案．

解答：解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题意，则点P、Q只能在y轴两侧，
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴

OP

•

OQ

=0，
不妨设P（t，f（t））（t＞0），
∵△POQ斜边的中点在y轴上，
∴Q（-t，t³+t²），且t≠1，
∵

OP

•

OQ

=0，
∴-t²+f（t）（t³+t²）=0，①
题中所问是否存在两点P，Q满足题意等价于方程①是否有解问题．
（1）当0＜t＜1，即两点P，Q都在y=-x³+x²上，
∴f（t）=-t³+t²，
代入方程①，得-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，
∴t⁴-t²+1=0，
而此方程无实数解，
∴不符合题意；
（2）当t＞1时，即P在y=

a(1+lnx)

x

上，Q在y=-x³+x²上，
∴f（t）=

a(1+lnt)

t

，
代入方程①，得-t²+

a(1+lnt)

t

（t³+t²）=0，
∴

1

a

=

(1+t)(1+lnt)

t

，
设g（x）=

(1+x)(1+lnx)

x

，
∴g′（x）=

[(1+x)(1+lnx)]′•x-(1+x)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，
设h（x）=x-lnx，
∴h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

（x＞1），
∴h′（x）=

x-1

x

＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上也单调递增，
∴g（x）＞g（1）=2，
∵

1

a

=

(1+t)(1+lnt)

t

，
∴

1

a

＞2，
∴0＜a＜

1

2

，
∴当0＜a＜

1

2

时，方程

1

a

=

(1+t)(1+lnt)

t

有解，即方程①有解，
∴曲线y=f（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，此时实数a的取值范围为0＜a＜

1

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．综合考查了导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，难度大．属于难题．