Question

已知P，A，B，C是球面上的四点，∠ACB=90°，PA=PB=PC=AB=2，则该球的表面积是（　　）

• A．

  16

  3

  π
• B．

  8

  3

  π
• C．

  8 3

  3

  π
• D．

  16 3

  3

  π

Answer 1

分析：取AB中点E，连接PE、CE，可证出△PAE≌△PBE≌△PCE，得到∠CEP=90°即PE⊥CE，所以PE⊥平面ABC．因此，三棱锥P-ABC外接球的球心O在直线PE上，设PO=AO=R，建立关于R的方程并解之得R=

2 3

3

，最后结合球的表面积为公式，可得外接球的表面积．

解答：解：取AB中点E，连接PE、CE
∵△ABC中，∠ACB=90°，E为AB中点
∴EA=EB=EC=

1

2

AB
又∵PA=PB=PC，PE公用，∴△PAE≌△PBE≌△PCE
∵△PAB中，PA=PB=2，EA=EB=1，∴PE⊥AB，PE=

3

可得∠AEP=∠BEP=∠CEP=90°，即得PE⊥CE，
∵AB、CE是平面ABC内的相交直线
∴PE⊥平面ABC
因此，三棱锥P-ABC外接球的球心O必在直线PE上，设PO=AO=R，得
OE²+AE²=OA²，即（

3

-R）²+1²=R²，解之得R=

2 3

3

∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4πR²=

16

3

π
故选：A

点评：本题给出特殊的三棱锥，求它的外接球的表面积，着重考查了空间线面垂直的判定与性质和球的表面积公式等知识，属于中档题．