Question

坐标平面上一点P到点A（

1

2

，0），B（a，2）及到直线x=-

1

2

的距离都相等．如果这样的点P恰好只有一个，那么实数a的值是

 

．

Answer 1

分析：坐标平面上一点P到点A（

1

2

，0），及到直线x=-

1

2

的距离相等．
则P的轨迹是抛物线，在抛物线上只有一点满足题意，那么线段AB的垂直平分线与抛物线相切，或平行其轴．

解答：解：平面上到点A(

1

2

，0)及到直线x=

1

2

的距离相等的点的轨迹是抛物线y²=2x．
本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点A(

1

2

，0)，B（a，2）的距离相等，
有两种情况：一是线段AB的垂直平分线与抛物线相切，
一是线段AB的垂直平分线与抛物线的对称轴平行．
可得结果实数a的值为

1

2

或-

1

2

．
故答案为：

1

2

或-

1

2

点评：本题考查抛物线的定义，抛物线的性质，是基础题．