Question

（14分）已知，动点满足.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；

（Ⅲ）设为曲线在第一象限内的一点，曲线在处的切线与轴分别交于点，求面积的最小值.

Answer 1

解析：（Ⅰ）动点的轨迹的方程为   ；   …………………………3分

（Ⅱ）解法1  当直线的斜率不存在时，,，不合题意；

当直线的斜率存在时,设过的直线：，代入曲线的方程得

设，则

，        解得

故所求的直线的方程为；…………………………………9分

解法2  当直线为轴时， ， 不合题意；

当直线不为轴时，设过的直线：，代入曲线的方程得

设，则

  =     解得

故所求的直线的方程为；…………………………………9分

（Ⅲ）设由得

处曲线的切线方程为 

令得 ；   令得 .

由  ，  

  得.

故面积的最小值为2.

…………………………………………14分