Question

已知函数f(x)=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极小值-4，使其导函数f′(x)＞0的x的取值范围为(1，3)，求：

(Ⅰ)f(x)的解析式；

(Ⅱ)f(x)的极大值；

(Ⅲ)x∈[2，3]，求g(x)=f′(x)+6(m-2)x的最大值．

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意得：

f′(x)=3ax²+2bx+c=3a(x-1)(x-3)(a＜0)．

∴在(-∞，1)上，f′(x)＜0；

在(1，3)上，f′(x)＞0；

在(3，+∞)上，f′(x)＜0；

因此，f(x)在x₀=1处取得极小值-4．

∴a+b+c=-4  ① 

    ①②③联立得：

∴f(x)=-x³+6x²-9x．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在x=3处取得极大值为：f(3)=0

(Ⅲ)g(x)=-3(x-1)(x-3)+6(m-2)x=-3(x²-2mx+3)

①当2≤m≤3时，g(x)_max=g(m)=-3(m²-2m²+3)=3m²-9；

②当m＜2时，g(x)在[2，3]上单调递减，

g(x)_max=g(2)=12m-21;

③当m＞3时，g(x)在[2，3]上单调递增，

g(x)_max=g(3)=18m-36.