Question

3．若对任意的x＞0，$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，则实数a的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 依题意，知a≥（$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$）_max，利用基本不等式可求得（$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$）_max=2，从而可得a的取值范围．

解答 解：∵对任意x＞0，$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，
∴a≥（$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$）_max．
∵x＞0，
∴$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{10}{x+\frac{1}{x}+3}$≤$\frac{10}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}+3}$=2，
即（$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$）_max=2，
∴a≥2．
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，求得（$\frac{10x}{{x}^{2}+3x+1}$）_max=2是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．