题目内容

设F1、F2分别为双曲线：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若
|PF1|2
|PF2|
的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A、[3，+∞）
B、（1，3]
C、（1，
3
]
D、[
3
，+∞）
分析：设|PF2|=t，则|PF1|=2a+t，故
|PF1|2
|PF2|
=
4a2+4at+t2
t
=4a+
4a2
t
+t≥8a，由2a≥c-a 及 e＞1 求得e 的范围．
解答：解：由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a． 设|PF2|=t，则|PF1|=2a+t，
故
|PF1|2
|PF2|
=
4a2+4at+t2
t
=4a+
4a2
t
+t≥4a+2
4a2
t
•
t=8a，当且仅当 t=2a时，等号成立．
又∵t≥c-a，∴2a≥c-a，∴e=
c
a
≤3．
又因为 e＞1，故e 的范围为 （1，3]，
故选B．
点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用 t≥c-a  是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设F1，F2分别为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间，则k=（　　）
（2012•石家庄一模）设F1，F2分别为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
= 1的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且|PF2|=|1FF2|，F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）
如图，已知A、B为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)和双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且
OP
=λ
OQ
(λ∈R，λ＞1)．设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4．
（1）求证：k1•k2=
b2
a2
；
（2）求k1+k2+k3+k4的值；
（3）设F1、F2分别为双曲线和椭圆的右焦点，若PF1∥QF2，求k12+k22+k32+k42的值．
（2011•重庆一模）设F1、F2分别为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且点P的横坐标为
5
4
c（c为半焦距），则该双曲线的离心率为（　　）
设F1、F2分别为双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（　　）

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