各项为正的数列{an}满足${a 1}=\frac{1}{2}$.${a {n+1}}=\frac{a n^2}{λ}+{a n}.$.(1)取λ=an+1.求证:数列$\left\{{\frac{{{a {n+1}}}}{a n}}\right\}$是等比数列.并求其公比,(2)取λ=2时令${b n}=\frac{1}{{{a n}+2}}$.记数列{bn}的前n项和为Sn.数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．各项为正的数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\frac{a_n^2}{λ}+{a_n}，（n∈{N^*}）$，
（1）取λ=a_n+1，求证：数列$\left\{{\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}}\right\}$是等比数列，并求其公比；
（2）取λ=2时令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}+2}}$，记数列{b_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项之积为T_n，求证：对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值．

分析（1）把由λ=a_n+1代入${a_{n+1}}=\frac{a_n^2}{λ}+{a_n}，（n∈{N^*}）$，整理后求解方程求得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．结合a_n＞0可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$为常数，结论得证；
（2）把λ=2代入数列递推式，得到2a_n+1=a_n（a_n+2），变形得到${b}_{n}=\frac{1}{2}\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，然后分别利用累积法和裂项相消法求得T_n，S_n，代入2ⁿ⁺¹T_n+S_n证得答案．

解答证明：（1）由λ=a_n+1，得${a}_{n+1}=\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n+1}}+{a}_{n}$，∴${{a}_{n+1}}^{2}-{a}_{n+1}{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}=0$．
两边同除$a_n^2$可得：$（\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}{）^2}-\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}-1=0$，解得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．
∵a_n＞0，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$为常数，
故数列$\{\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}\}$是等比数列，公比为1；
（2）当λ=2时，${a}_{n+1}=\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}+{a}_{n}$，得2a_n+1=a_n（a_n+2），
∴${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}+2}=\frac{1}{2}\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$．
∴${T_n}={b_1}•{b_2}…{b_n}=（\frac{1}{2}\frac{a_1}{a_2}）（\frac{1}{2}\frac{a_2}{a_3}）…（\frac{1}{2}\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}）={（\frac{1}{2}）^n}（\frac{a_1}{{{a_{n+1}}}}）={（\frac{1}{2}）^{n+1}}（\frac{1}{{{a_{n+1}}}}）$，
又${b_n}=\frac{1}{2}\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}=\frac{a_n^2}{{2{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{{2{a_{n+1}}-2{a_n}}}{{2{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，
∴${S}_{n}={b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}=\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}=2-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
故2ⁿ⁺¹T_n+S_n=${2}^{n+1}•（\frac{1}{2}）^{n+1}（\frac{1}{{a}_{n+1}}）+2-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2为定值．

点评本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累积法求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，是中档题．

练习册系列答案

6．已知函数f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有两个公共点，求实数a的取值范围；
（3）当-2＜a＜-1时，若函数f（x）在区间（m，e²）（其中m＞0）上恒有一个零点，求实数m的最大值．

3．已知点A（$\frac{3}{2}$，-1）在抛物线C：x²=2py（p＞0）的准线l₁上，过点A作一条斜率为2的直线l₂，点P是抛物线
上的动点，则点P到直线l₁和到直线l₂的距离之和的最小值是（　　）

A．

$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

10．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，-$\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，它的最小正周期为π，则（　　）

	A．	f（x）的图象过点$（0，\frac{1}{2}）$		B．	f（x）在$[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上是减函数
	C．	f（x）的一个对称中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$		D．	f（x）的一个对称中心是$（{\frac{π}{6}，0}）$

20．已知函数f（x）=e^x+mx-2，g（x）=mx+lnx．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）当m=-1时，试推断方程：$|{g（x）}|=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$是否有实数解．

7．边长为4的正方形ABCD的中心为O，以O为圆心，1为半径作圆，点M是圆O上的任意一点，点N是边AB、BC、CD上的任意一点（含端点），则$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$的取值范围是（　　）

4．

如图，三条平行直线l₁，l，l₂把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线l到l₁，l₂的距离相等．点O在直线l上，点A，B在直线l₁上，P为平面区域内的点，且满足$\overrightarrow{OP}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$（λ₁，λ₂∈r）．若P所在的区域为④，则λ₁+λ₂的取值范围是（-∞，-1）．

5．正数m、n满足m²=a²+b²，n²=x²+y²，求ax+by的最大值．

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