Question

已知函数f(x)＝xlnx．

⑴讨论函数f(x)的单调性；

⑵对于任意正实数x，不等式f(x)＞kx－恒成立，求实数k的取值范围；

⑶是否存在最小的正常数m，使得：当a＞m时，对于任意正实数x，不等式f(a＋x)＜f(a)·e^x恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)令，得x．

　　当x∈(0，)时，；当x∈()时，．

　　所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．(3分)

　　(2)由于x＞0，所以．

　　构造函数，则令，得．

　　当时，；当时，．

　　所以函数在点处取得最小值，即．

　　因此所求的k的取值范围是．(7分)

　　(3)结论：这样的最小正常数存在．　解释如下：

　　．

　　构造函数，则问题就是要求恒成立．(9分)

　　对于求导得．

　　令，则，显然是减函数．

　　又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而，

　　，

　　．

　　所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有：在区间和上，即；在区间上，即．从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．，当时，；当时，．还有是函数的极大值，也是最大值．

　　题目要找的，理由是：

　　当时，对于任意非零正数，，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明；

　　当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说明不能比小．

　　综合可知，题目所要寻求的最小正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立．(12分)

　　(注意：对于和的存在性也可以如下处理：

　　令，即．作出基本函数和的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程有两个正实数根和，且，(实际上)，可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．，当时，；当时，．还有是函数的极大值，也是最大值．)