Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC，SB的中点，设PM=AC=SC=1，∠ACB=

π

2

，
（Ⅰ）求证：PM⊥平面SAC；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）欲证面MAP⊥面SAC，根据面面垂直的判定定理可知在平面MAP内一直线与平面SAC垂直，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面SAC，而PM∥BC，从而PM⊥面SAC，满足定理所需条件．
（II）过点P作MO⊥BC，交BC于O，过O作OD⊥AB，交AB于D，连接MD，则∠MDO就是二面角M-AB-C的平面角，由此能求出二面角M-AB-C的平面角的余弦值．

解答：证明：（I）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=

π

2

，
∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中点
∴PM∥BC，PM⊥面SAC，
∴面MAP⊥面SAC．
（II）过点P作MO⊥BC，交BC于O，过O作OD⊥AB，交AB于D，连接MD，
则∠MDO就是二面角M-AB-C的平面角，
∵PM=AC=SC=1，∠ACB=

π

2

，
∴MO=

1

2

，AB=

5

．
∵△ACB∽△ODB，
∴

DO

AC

=

BO

AB

，∴DO=

AC•BO

AB

=

1×1

5

=

1

5

，
∴DM=

( 1 2 )2+( 1 5 )2

=

3

2 5

，
∴cos∠MDO=

DO

DM

=

1 5

3 2 5

=

2

3

．
故二面角M-AB-C的平面角的余弦值为

2

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．