Question

三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）若

CB

=2

AD

，且异面直线PC与AD的夹角为60°时，求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于点O，由PA=PB=PC，知O为△ABC的外心，由∠ACB=90°，知O为AB边的中点，由此能够证明平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能够求出二面角P-CD-A的余弦值．

解答：证明：（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于点O，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，即O为△ABC的外心
又∵△ABC中，∠ACB=90°，∴O为AB边的中点，
∴PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）∵△ABC中，∠ACB=

π

2

，AC=CB=2，
∴OA=OB=OC=

2

∵

CB

=2

AD

，且异面直线PC与AD的夹角为60°，PB=PC
∴∠PCB=60°，∴△PCB为正三角形，解得PO=

2

．
以O为坐标原点，以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，
建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，
则A(

2

，0，0)，B(-

2

，0，0)，C(0，

2

，0)，P(0，0，

2

)，
∵

CB

=(-

2

，-

2

，0)=2

AD

，∴D(

2

2

，-

2

2

，0)． …（9分）
设平面PCD的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

CP

=(0，-

2

，

2

)，

CD

=(

2

2

，

-3 2

2

，0)
由

n • CP =- 2 y+ 2 z=0 n • CD = 2 2 x- 3 2 2 y=0

，取

n

=(3，1，1)
平面ACD的法向量为

OP

=(0，0，

2

)
∴cos＜

OP

，

n

＞=

OP • n

| OP |•| n |

=

1

11

=

11

11

．
由图可知，所求二面角P-CD-A为钝角，其的余弦值为-

11

11

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．