Question

正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=1，BF=

1

2

，将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P-DEF的体积是（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  5

  6

• C、

  2 3

  9

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：根据已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=1，BF=

1

2

，将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P，可知DP⊥PE，DP⊥PF，PE∩PF=P，故得到DP⊥面PEF，因此要求三棱锥P-DEF的体积，即求三棱锥D-PEF的体积，利用余弦定理求得cos∠PEF=0，进而求得sin∠PEF，利用三角形面积公式求得S△EPF=

1

2

PE•EF，代入体积公式即可求得结论．

解答：解：根据题意知DP⊥PE，DP⊥PF，PE∩PF=P，
∴DP⊥面PEF，
而DP=2，EF=

5

2

，PE=1，PF=

3

2

，
由余弦定理得cos∠PEF=

1+ 5 4 - 9 4

2×1× 3 2

=0，
∴sin∠PEF=1，∴S△EPF=

1

2

PE•EF=

1

2

×1×

5

2

=

5

4

，
∴V_P-DEF=V_D-PEF=

1

3

×2×

5

4

=

5

6

，
故选B．?

点评：此题是中档题．本题主要考查了折叠问题，解决此题的关键是抓住折叠前后不变的量解决问题，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．