题目内容
16、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为棱形，∠DAB=60°，平面PCD⊥底面ABCD，E、F分别是CD、AB的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD．
（2）设G为棱PA上一点，且PG=2GA，求证：PC∥平面DGF．
分析：（1）欲证BE⊥平面PCD，可先证平面PCD⊥底面ABCD，根据平面与平面垂直的性质定理可证得；
（2）欲证PC∥平面DGF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面DGF内一直线平行，而PC∥MG，PC?平面DGF，GM?平面DGF，满足定理条件．
（2）欲证PC∥平面DGF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面DGF内一直线平行，而PC∥MG，PC?平面DGF，GM?平面DGF，满足定理条件．
解答：证明：（1）连接BD
因为底面ABCD为菱形，∠DAB=60°
所以DB=CB
因为E为CD的中点，
所以BE⊥CD
因为平面PCD⊥底面ABCD
且平面PCD∩底面ABCD=AD
BE?平面ABCD
所以BE⊥平面PCD
（2）连接AC交FD与点M，交BE于点N，连接MG
因为底面ABCD为菱形，
且E、F分别为CD，AB的中点，
所以DE∥BF，且DE=BF因此四边形DEBF为平行四边形，
所以BE∥DF．
因为E为CD的中点，所以CN=MN
同理AM=MN，
因此CM=2AM
又在△ACP中，PG=2GA
所以PC∥MG
又因为PC?平面DGF，GM?平面DGF，
所以PC∥平面DGF
因为底面ABCD为菱形，∠DAB=60°
所以DB=CB
因为E为CD的中点，
所以BE⊥CD
因为平面PCD⊥底面ABCD
且平面PCD∩底面ABCD=AD
BE?平面ABCD
所以BE⊥平面PCD
（2）连接AC交FD与点M，交BE于点N，连接MG
因为底面ABCD为菱形，
且E、F分别为CD，AB的中点，
所以DE∥BF，且DE=BF因此四边形DEBF为平行四边形，
所以BE∥DF．
因为E为CD的中点，所以CN=MN
同理AM=MN，
因此CM=2AM
又在△ACP中，PG=2GA
所以PC∥MG
又因为PC?平面DGF，GM?平面DGF，
所以PC∥平面DGF
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
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