题目内容
已知x，y，z∈R，且x-2y-3z=4，则x2+y2+z2的最小值为
．
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分析：利用题中条件：“x-2y-3z=4”构造柯西不等式：[x+（-2）y+（-3）z]2≤[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2），利用这个条件进行计算即可．
解答：解：由柯西不等式，得[x+（-2）y+（-3）z]2≤[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2），
即（x-2y-3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）
即16≤14（x2+y2+z2）．
∴x2+y2+z2的≥
，
即x2+y2+z2的最小值为
．
故答案为：
．
即（x-2y-3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）
即16≤14（x2+y2+z2）．
∴x2+y2+z2的≥
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即x2+y2+z2的最小值为
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故答案为：
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点评：本题考查柯西不等式在函数极值中的应用，关键是利用：[x+（-2）y+（-3）z]2≤[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）．
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